这个问题很基础，但却是整个霍奇猜想理论大厦的基础性环节。
想要证明霍奇猜想，就不可能绕开它。
在数学上，克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流形，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。
如果观察克莱因瓶的图片，可以发现，克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。
但是事实却非如此。
事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎是自己和自己相交一样。
事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。
用三维扭结来打比方。
如果把它看作平面上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。
但这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一条曲线。
在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。
只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一点，把它画成相交或者断裂了的样子。
克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。
在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它做成自身相交的模样；就好像最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。
只要证明定向二重覆盖为环面的T2克莱茵瓶的空间曲率为黎曼流形上的一个光滑函数，就可以补齐黎曼猜想证明的最后一个漏洞。
可问题是，该如何证明呢？
接下来的时间里，庞学林再次进入研究状态。
不过这一次，他倒没有专门闭关搞研究。
他有信心，即使有其他事务干扰，他也能够在两个月内完成霍奇猜想最后一块拼图的补齐工作。
这两个月，庞学林一方面开始组建《探索》期刊编辑部。
他自己亲自担任总编，编委也是各个领域内的大佬级人物。
比如柯顿·沃克、石毅、文小刚、望月新一、安德森·怀特、杨和平、佩雷尔曼、徐兴国、李长青等人，都被庞学林拉了进来。
另一方面，庞学林也没放松对霍奇猜想的研究。
基本上每天晚上都要工作到凌晨一两点。
时间一天天过去，不知不觉，就进入了六月份。
这天晚上，庞学林正在书房沉思，齐昕端着一碗银耳莲子红枣羹走了进来。
庞学林听到动静，抬头笑道：“小昕，你早点去睡吧，不用每晚熬到这么晚。”
这段时间，庞学林每天凌晨一两点睡觉，齐昕心疼庞学林，每晚十一点之后，都会变着法子给他熬一些滋补汤药。
齐昕抿嘴笑道：“我没事，你先喝汤吧，过会儿就凉了。”
“好，我马上喝。”
庞学林从齐昕手里接过银耳羹，一边喝，一边和她聊着天。
“阿林，这段时间研究还没进展吗？”
齐昕好奇道。
她很少过问庞学林的工作事务，一直在一旁默默地帮庞学林处理好其他事务。
庞学林摇了摇头，叹道：“还是没什么头绪，时间太赶了，还有十五天，《探索》创刊号就要正式进入印刷厂印刷了，现在创刊号百分之八十的稿子都已经确定，就剩这篇论文没有搞定。”
齐昕皱眉道：“实在不行，那就缓一缓吧。”
庞学林道：“尽力吧，如果霍奇猜想实在搞不定，我就去庞氏几何研讨班那边弄一篇水平还可以的论文拿上去凑数。”
“嗯，那我先去洗澡了，明天还得早起上课，你也早点睡，如果实在找不到突破口，换个思路或者从反向思维入手，说不定就能解决了。”
庞学林微微一愣，“你说什么？”
“我说换个思路或者从反向思维入手啊？”
庞学林眼中闪着莫名的光芒，冲上前去抱着齐昕狠狠地亲了一口，大笑道：“小昕，你真是我的幸运星。”
说着，他也不再理会齐昕，坐会书桌前，拿起笔快速地演算起来。
齐昕看着沉浸在研究中的庞学林，脸上浮现出一丝温婉的笑容，她拿起桌上的空碗，悄无声息地退出了书房。
……
庞学林的大脑在飞速运转。
齐昕的那句反向思维，仿佛一道光，照亮了前方茫茫的夜空。
为什么一定要证明定向二重覆盖为环面的T2克莱茵瓶，它的空间曲率是黎曼流形上的光滑函数呢？
只需要证明定向二重覆盖非环面的T2克莱因瓶，它的空间曲率不是黎曼流形的光滑函数不就行了吗？
过去两个月来的潜心思考，仿佛已经干透了的柴火一般，只需一道火花，就能燃起熊熊的火焰。
庞学林手中的笔尖在纸上飞速运转。
【设M是n维光滑流形，若在M上给定一个光滑的二阶协变张量场g，称(M，g)为一个n维黎曼流形，g称为该黎曼流形的基本张量或黎曼度量，如果满足：1.g是对称的，即：g(X，Y)=g(Y，X)(X，Y∈TpM，p∈M)。2.g是正定的，即：g(X，X)≥0 (X∈TpM，p∈M)，且等号仅在X=0时成立……】
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